By N. H. Abel, E. Galois

ISBN-10: 364251944X

ISBN-13: 9783642519444

ISBN-10: 3642520065

ISBN-13: 9783642520068

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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An-I); es ist aber mithin: a + a2 + a3 + .... + an- 1 = - 1, 56 Abel. und da p wesentlich positiv ist: 2n+ 1 P=-4~-· Dieser Wert von p giebt VP= ~ V2n-+ T. Folglich ist die Quadratwurzel, welche man ausziehen muss, die Quadratwurzel aus 2n + 1, wie Gau s s behauptet hat. *) *) In dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, kann man sogar die Ausziehung dieser Quadratwurzel umgehen. Über die algebraische Auflösung' der Gleichungen. (Oeuvres completes) lSB1} Bel. 11 S. 217). --li"- Eins der interessantesten Probleme der Algebra ist dasjenige der algebraischen Auflösung der Gleichungen.

X=x ist und wobei Bx eine rationale Function von x und von bekannten Grössen bezeichnet, so ist diese Gleichung stets algebraisch auflösbar. Hieraus ergiebt sich der folgende als Zusatz: Satz IV. Wenn ZWE:'i Wurzeln einer irreductiblen Gleichung, deren Grad eine Primzahl ist, derart mit einander verbunden sind, dass man die eine rational durch die andere ausdrücken kann, so ist diese Gleichung algebraisch auflösbar. =m·n; denn, wenn p. eine Primzahl ist, muss man m = 1 haben, und somit drücken sich die Wurzeln durch x, fix, 3 2x, ...

I [CFxl)v ·oj;Xl + (F(flxl)Y. <);(OX1) + ... + (F(on-l xl))'- oj;(fln - l X1)]. Man erhält analoge Ausdrücke für Y~ . oj;X2' Y~' <);x~, ... •. , x", an die Stelle von Xl setzt. Substituiert man diese Werte, so sieht man, dass tv eine rationale und symmetrische Function aller Wurzeln der Gleichung 'fex) = 0 ist. Man erhält nämlich 22) Mithin kann man t v rational durch bekannte Grössen ausdrücken. Setzt man hierauf 'I = 0, 1, 2, 3, ... /1 + + + + ..... + oj;X2+····· Y2oj;X2 + ..... 'fX2 + ..... •.

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Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen by N. H. Abel, E. Galois


by John
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